wszystko

ebook / download / pobieranie / do ÂściÂągnięcia / pdf

wszystko,

CLF
METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
METODY OPRACOWANIA
I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
BŁĘDY I NIEPEWNOSCI POMIAROWE.
Praca w laboratorium fizycznym polega na obserwacji zjawisk fizycznych, wykonywaniu
pomiarów i ich interpretacji w oparciu o poznane teorie i prawa fizyki. Oprócz poprawnego
wykonania pomiarów, bardzo istotna jest analiza końcowych wyników pod względem ich
wiarygodności i dokładności oraz przedstawienie uzyskanych rezultatów w sposób umożliwiający
ich prawidłową interpretację, to jest jasno, przejrzyście i zgodnie z ogólnie przyjętymi zasadami.
Często jednym z zadań stojących przed nami jest wyznaczenie jakiejś wielkości fizycznej, takiej jak
np. współczynnik załamania światła, długość fali, energia kwantów gamma itp. Wynik pomiaru
dowolnej wielkości na ogół nie pokrywa się z jej wartością rzeczywistą. Przyczyny tego faktu mogą
być różne i różnie się mogą one objawiać.
Jeśli wyniki pomiarów wykazują systematyczne przesunięcie w stosunku do wartości rzeczywistej,
bądź też odznaczają się niepowtarzalnością przekraczającą znacznie nominalną dokładność
przyrządów, wówczas mówimy, że są one obarczone błędami pomiarowymi. Sama nazwa (błąd) tej
wady pomiarów sugeruje możliwość jej usunięcia. Rodzaje błędów pomiarowych omówimy na
prostym przykładzie pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.
Wyobraźmy sobie, że zmierzyliśmy kilkakrotnie czas stu wahnięć metalowej kulki przywiązanej do
końca nici o długości 1. Początkowe wychylenie kulki wynosiło 200. Obliczenie przyspieszenia
ziemskiego g, w oparciu o wzór
, spowoduje otrzymanie wyników systematycznie
zaniżonych w stosunku do wartości rzeczywistej. Przyczyną jest zastosowanie przybliżonego wzoru
na okres wahadła słusznego tylko w przypadku małych wychyleń. O tak otrzymanych wynikach
powiemy, że są one obarczone systematycznym błędem pomiarowym. Inną przyczyną powstania
tego typu błędów może być np. użycie stopera, którego wskazówki z chwilą rozpoczęcia pomiarów
nie pokrywają się z początkiem skali, wywołując systematyczne zaniżenie lub zawyżenie wartości
okresu.
Przypuśćmy, że w serii 5 pomiarów czasu stu wahnięć, jeden z pomiarów został zakończony po 90
wahnięciach. Pomiar ten da drastycznie różną wartość przyspieszenia ziemskiego. Określimy go
jako pomiar obarczony
błędem grubym
czyli
pomyłką
(rys. l).
Tylko do użytku wewnętrznego.
1
CLF
METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
Błędy pomiarowe zarówno systematyczne jak i grube mają wspólna cechę. Można je wyeliminować
poprzez:
1. Użycie właściwie działających przyrządów pomiarowych.
2. Poprawne przeprowadzenie pomiarów.
3. Stosowanie poprawek matematycznych do wzorów przybliżonych.
4. Usuniecie z serii pomiarowej wyniku obarczonego błędem grubym.
Rys.1.
Seria pomiarów wielkości X obarczonych błędami.
Wyeliminowanie błędów pomiarowych jest zabiegiem koniecznym, ale nieprowadzącym do
uzyskania wyników jednoznacznie pokrywających się z rzeczywistą wartością wielkości mierzonej.
Każdy bowiem pomiar jest obciążony
niepewnością pomiarową.
Wśród niepewności pomiarowych wyróżnić można
niepewności przypadkowe i niepewności
systematyczne.
Na ogół jednak któraś z wymienionych niepewności pomiarowych dominuje.
Jeśli dokładność przyrządu jest dostatecznie duża, wówczas w serii pomiarowej otrzymamy pewien
rozrzut; wyników. Świadczy to o przewadze niepewności przypadkowych nad systematycznymi.
Źródłem występowania niepewności przypadkowych może być mierzona wielkość (mówimy
wówczas o niepewności przypadkowej obiektu) lub sam eksperymentator wraz z otoczeniem
i przyrządami pomiarowymi (niepewność przypadkowa metody). Niepewność przypadkowa
obiektu, przy pomiarze grubości płytki ołowianej śrubą mikrometryczną, będzie miała swe źródło
w różnicach grubości płytki mierzonej w kilku różnych punktach. Niepewność przypadkowa
metody wynikać może natomiast z różnic w dociskaniu śruby w kolejnych pomiarach.
Na powstanie niepewności przypadkowych nakłada się wiele niezależnych przyczyn, co prowadzi
do tego, te wyniki pomiarów, w których dominują niepewności przypadkowe, układają się
symetrycznie wokół wartości rzeczywistej (rys.2). Pojęcie niepewności przypadkowej jest
równoważne pojęciu błędu przypadkowego lub losowego, która to nazwa stosowana jest w wielu
pracach dotyczących analizy pomiarów. Z tego też powodu w dalszych rozdziałach będziemy
stosować równolegle nazewnictwo tradycyjne.
Rys.2.
Seria pomiarów wielkości X obarczonych niepewnościami przypadkowymi.
Tylko do użytku wewnętrznego.
2
CLF
METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
Źródłem niepewności systematycznych są ograniczone możliwości pomiarowe związane z klasa
(dokładnością) użytego przyrządu oraz z możliwością odczytu jego wskazań przez obserwatora.
Dokładniejszemu omówieniu tego problemu poświęcony jest rozdział,3.
Przewaga niepewności systematycznych nad przypadkowymi ujawni się poprzez otrzymanie
identycznych wyników w określonej serii pomiarów.
Jak już wspomnieliśmy, całkowite usunięcie niepewności nic jest możliwe. Można je co najwyżej
zmniejszyć poprzez stosowanie dokładniejszych przyrządów pomiarowych oraz zwiększenie liczby
pomiarów. Dokładnemu omówieniu tych problemów poświęcony jest rozdział 4.
Powyższy podział odstępstw wyników pomiarów od wartości rzeczywistej na błędy i niepewności
pomiarowe został zastosowany przez Szydłowskiego w podręczniku dla nauczycieli [1], a następnie
rozwinięty w książce pt. "Teoria pomiarów" [2]. Krótkie omówienie tego zagadnienia można
znaleźć w artykule zamieszczonym w "Postępach Fizyki" (1980) [3]. Terminologia Szydłowskiego
jest bardziej precyzyjna od tradycyjnego podziału na błędy przypadkowe, systematyczne i grube,
z którym to podziałem może się czytelnik spotkać przy korzystaniu z innych pozycji literaturowych
dotyczących rachunku błędów [4,S,6,7,8,9,10].
PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW: NIEPEWNOSĆ (BŁĄD) BEZWZGLĘDNY
I WZGLĘDNY, ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW, SPORZĄDZANIE WYKRESÓW.
Wyznaczoną wielkość fizyczną musimy przedstawić z odpowiednią precyzją wraz z przedziałem
niepewności wynikłej ze stosowanej metody pomiarowej, użytych przyrządów, czy też własności
obiektu mierzonego. Sposoby określenia niepewności pomiarowych zostaną omówione
w następnych rozdziałach, w tym miejscu chcemy podać - a właściwie przypomnieć - pewne ogólne
zasady prezentacji wyników końcowych.
Wynik naszych pomiarów, bezpośredni lub będący wynikiem obliczeń, jeśli wyznaczamy wielkość
złożoną (np, objętość prostopadłościanu na podstawie pomiarów jego krawędzi). podajemy wraz
z niepewnością bezwzględną i względną.
Bezwzględna niepewność pomiarowa
Δx określa, o ile wynik pomiaru x może różnić się od
rzeczywistej wartości x
0
:
(1)
Nie znamy wartości rzeczywistej, ale uważamy, że mieści się ona z określonym
prawdopodobieństwem w przedziale:
(2)
dlatego wynik końcowy zapisujemy w postaci
Tylko do użytku wewnętrznego.
3
CLF
METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
(3)
Prawdopodobieństwo, z jakim wartość rzeczywista mieści się w określonym przez nas przedziale,
jest bardzo istotną informacja, którą należy podawać oprócz wartości niepewności pomiarowej.
W dalszych rozdziałach zagadnienie to zostanie szczegółowo omówione.
Niepewność względną
określamy jako stosunek niepewności bezwzględnej do wartości
otrzymanego wyniku i wyrażamy ją zazwyczaj w procentach:
(4)
Stosowanie niepewności względnej ma istotne znaczenie dla określenia dokładności pomiarów.
Jeśli mierzymy długość ołówka z dokładnością do 1 mm, to taka dokładność (~1%) wydaje się
wystarczająca, natomiast pomiar wysokości pokoju z taką samą niepewnością bezwzględną jest już
pomiarem bardzo dokładnym (niepewność względna ~0.04%), który zresztą trudno byłoby nam
przeprowadzić. Dlatego podanie niepewności bezwzględnej niewiele nam mówi o rzeczywistej
dokładności pomiaru jeśli nie zestawimy tej niepewności z mierzoną wielkością. Z tego punktu
widzenia wielkość niepewności względnej daje nam pojęcie o dokładności pomiarów i umożliwia
porównywanie dokładności różnych metod i różnych wielkości.
Końcowe rezultaty należy podawać we właściwie dobranych jednostkach i z odpowiednią
precyzją
.
O precyzji zapisu danej liczby świadczy ilość zawartych w niej cyfr znaczących. Cyframi
znaczącymi są cyfry od 1 do 9, np. liczba 321 ma 3 cyfry znaczące (lub miejsca znaczące). Zero jest
cyfrą znaczącą tylko w przypadku, gdy znajduje się między dwiema cyframi niebędącymi zerami,
albo na dowolnym miejscu po cyfrze niebędącej zerem, ale zawartej w liczbie z przecinkiem. Na
przykład liczbę 500 możemy zapisać jako 5 10
2
, przedstawia więc ona jedno miejsce znaczące; jeśli
chcemy zaznaczyć, że posiada ona trzy cyfry znaczące, należy przedstawić ją w postaci 5,00 10
2
.
Zer będących miejscami znaczącymi nie należy opuszczać. W ułamkach dziesiętnych ilość miejsc
znaczących odpowiada ilości cyfr po ostatnim zerze, przed którym nie ma cyfr znaczących,
np. liczba 0,00120 ma 3 miejsca znaczące. Ułamki dziesiętne wygodnie jest zapisywać w postaci
liczby nie będącej zerem, mnożonej przez 10 w odpowiedniej potędze, np. 0,00120 = 1,20 10
-3
.
Niepewności pomiarowe podajemy z dokładnością co najwyżej do dwóch miejsc znaczących
i to tylko wtedy, gdy pierwszą cyfrą znaczącą jest 1 lub 2. W pozostałych przypadkach wynik
obliczeń zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej. Wiąże się to z faktem, że nie jesteśmy z reguły
w stanie wyznaczyć niepewności pomiarowej z dokładnością lepszą niż około 20% jej wartości [4].
Tylko do użytku wewnętrznego.
4
CLF
METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
Wynik pomiaru wielkości prostej lub złożonej zaokrąglamy zawsze do tego samego miejsca
dziesiętnego, do którego zaokrągliliśmy niepewność pomiarową
,
bo tylko wtedy odzwierciedla on rzeczywistą dokładność po miarową. Obie te wielkości
zapisujemy w jednolitej postaci, tzn. jeśli wynik zapisujemy jako liczbę mnożoną przez 10 do
dowolnej potęgi, to niepewność pomiarowa musi być również liczbą pomnożoną przez 10 do tej
samej potęgi. W przeciwnym przypadku zapis traci swoją przejrzystość.
Wyniki obliczeń zaokrąglamy w ten sposób, że ostatnia cyfra, która została po opuszczeniu cyfr
końcowych nie ulega zmianie, jeżeli następują po niej cyfry od 0 do 4 oraz ostatnią cyfrę
zwiększamy o 1, jeśli następują po niej cyfry od 5 do 9.
Z podanych powyżej zasad wynika, że powinniśmy dokonywać obliczeń z dokładnością o co
najmniej jedno miejsce znaczące większą, niż dokładność z jaką podajemy wynik końcowy. Uwaga
ta przy coraz powszechniejszym używaniu kalkulatorów nie jest zbyt istotna, pragniemy jednak
przestrzec przed bezkrytycznym przepisywaniem uzyskanych na tej drodze obliczeń
i przedstawianiem ich jako wyników końcowych. Na zakończenie tych uwag podajemy kilka
przykładów poprawnego zapisywania wyników końcowych:
m = (92,34 +/- 0,12)10
-3
kg,
Δ
m
wzgl.
= 0,13%,
I = (12,7 +/- 0,8) mA,
Δ
I
wzgl.
= 6%,
C = (30,00 +/- 0,11) nF,
Δ
C
wzgl.
= 0,4%,
T = (293 +/- 1) K,
Δ
T
wzgl.
= 0,3%,
h = (6,59 +/- 0,25)10
-34
J s,
Δ
h
wzgl.
= 4%.
W trakcie pracy w laboratorium fizycznym spotykamy się często z koniecznością przedstawienia
wyników pomiarów w postaci graficznej, dlatego chcielibyśmy przypomnieć pewne
ogólne zasady
sporządzenia wykresów
:
1.
Wartości zmiennej niezależnej powinny być odkładane na osi poziomej X. Obie osie powinny
być oznaczone symbolem lub nazwą zmiennej wraz z nazwa lub symbolem jednostki w jakiej
jest ona wyrażona.
2.
Skale obu osi powinny być tak dobrane, aby krzywa wykresu przebiegała możliwie przez całą
jego powierzchnię. Oznacza to, że nie muszą one zaczynać się od zera, tylko od wartości nieco
mniejszej od najmniejszej zmierzonej wartości. Podziałki skali powinny być wyraźnie
zaznaczone i tak dobrane, aby umożliwiały łatwe odczytanie jakiegokolwiek punktu na
wykresie, z dokładnością równą co najmniej dokładności przeprowadzonych pomiarów.
Podziałki skali powinny odpowiadać 1-, 2-, 5- lub 10- krotnym wartościom mierzonym lub
takim samym wielokrotnościom ich części dziesiętnych.
Tylko do użytku wewnętrznego.
5