Wstep do R Pr MAP2037 wyklad 7

ebook / download / pobieranie / do ÂściÂągnięcia / pdf

Wstep do R Pr MAP2037 wyklad 7, Studia, Stopień 2 Semestr II, SQL, sql - Anna Ociepa, SQL projekty, sql - Anna Ociepa

Wst¦pdorachunkuprawdopodobie«stwaistatystyki
matematycznejMAP2037
WPPTFizyka,FizykaTechniczna
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Wykład7:Weryfikacjahipotezstatystycznych.Pod-
stawoweparametrycznetestyistotno±ciitestyzgod-
no±ci.
Hipotezastatystyczna
przypuszczenie dotycz¡ce nieznanego rozkładu, jego postaci (hipoteza nieparametryczna)
lub parametrów (hipoteza parametryczna). Mo»e by¢ zło»ona lub prosta.
Na podstawie próbki weryfikujemy hipotez¦ - przyjmujemy j¡ albo odrzucamy. Zwykle
weryfikujemy hipotez¦
H
wzgl¦dem pewnej innej hipotezy
K
(hipotezy alternatywnej).
Odrzucamy wtedy
H
na korzy±¢
K
. Metod¦ post¦powania przy tej weryfikacji nazywamy
testemstatystycznym.
Test budujemy na podstawie próby
n
-elementowej z wykorzystaniemstatystykitesto-
wej
(
X
1
,X
2
,...,X
n
). Wprowadzamy zbiór krytyczny
W
- zbiór odrzuce« hipotezy
H
;
dopełnienie tego zbioru,
W
c
, to zbiór przyj¦¢ hipotezy
H
. Wtedy:
je±li
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
2
W
, to hipotez¦
H
odrzucamy;
je±li
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
2
W
c
, to hipotez¦
H
przyjmujemy.
Decyzja mo»e by¢ bł¦dna:
Hipoteza
prawdziwa
fałszywa
bł¡d
II rodzaju
przyj¦ta
OK
bł¡d
I rodzaju
odrzucona
OK
Najlepiej, gdy oba bł¦dy maj¡ małe prawdopodobie«stwo. Jednak do±¢ trudno jest to
osi¡gn¡¢. W tym celu post¦pujemy nast¦puj¡co:
1. Ustalamypoziomistotno±ci
- prawdopodobie«stwo bł¦du pierwszego rodzaju;
zwykle jest to mała liczba, np. 0,01 lub 0,05.
2. Wykorzystuj¡c statystyk¦ testow¡ konstruujemy zbiór krytyczny
W
tak, »e praw-
dopodobie«stwo, »e warto±¢
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)jest w zbiorze
W
jest małe, równe lub
mniejsze od poziomu istotno±ci
, o ile hipoteza
H
jest prawdziwa, czyli
P
(
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
2
W
|
H
) =
(lub
¬
)
Ponadto wybieramy taki zbiór
W
, który jednocze±nie przy ustalonym
daje naj-
mniejsze prawdopodobie«stwo bł¦du II rodzaju przy wybranej postaci hipotezy al-
ternatywnej
K
.
1
 Weryfikacjahipotezydotycz¡cejwarto±ci±redniej
(a)
m < m
0
H
:
m
=
m
0
przeciwko
K
:
(b)
m > m
0
(jedna z tych trzech postaci)
(c)
m
6
=
m
0
na poziomie istotno±ci
.
1.Przypadek,gdy
X
marozkładnormalny
N
(
m,
),gdzie
jest
znane:
statystyka testowa
(
X
1
,X
2
,...,X
n
) =
U
, gdzie
X

m
0
p
n
U
=
Je±li
H
jest prawdziwa, to
U
ma standardowy rozkład normalny
N
(0
,
1).
zbiór krytyczny
W
z zale»no±ci od hipotezy alternatywnej
K
to
(a)
W
= (
−1
,

u
1

]
(b)
W
= [
u
1

,
1
)
(c)
W
= (
−1
,

u
1

/
2
]
[
[
u
1

/
2
,
1
),
gdzie
u
q
dobrane tak, aby (
u
q
) =
q
dla (
u
) - dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego.
2.Przypadek,gdy
X
marozkładnormalny
N
(
m,
),gdzie
jest
nieznane:
statystyka testowa
(
X
1
,X
2
,...,X
n
) =
t
, gdzie
X

m
0
S
p
n

1
t
=
Je±li
H
jest prawdziwa, to
t
ma rozkład t-Studenta z
n

1 stopniami swobody,
!

n/
2
x
2
n

1
(
n/
2)
p
n

1 ((
n

1)
/
2)
p
czyli rozkład o g¦sto±ci
f
(
x
) =
1 +
.
zbiór krytyczny
W
z zale»no±ci od hipotezy alternatywnej
K
to
(a)
W
= (
−1
,

t
n

1
(1

)]
(b)
W
= [
t
n

1
(1

)
,
1
)
(c)
W
= (
−1
,

t
n

1
(1

/
2)]
[
[
t
n

1
(1

/
2)
,
1
),
gdzie
t
n

1
(
q
) dobrane tak, aby
P
(
t
¬
t
n

1
(
q
)) =
q
na podstawie Tablicy 3.
rozkładu t-Studenta z
n

1 stopniami swobody.
2
 3.Przypadek,gdy
X
madowolnyrozkłado±redniej
m
isko«czonej
nieznanejwariancji
2
,przyczympróbajestodu»ejliczno±ci
(
n
­
100):
statystyka testowa
(
X
1
,X
2
,...,X
n
) =
U
, gdzie
X

m
0
s
p
n
U
=
zbiór krytyczny
W
z zale»no±ci od hipotezy alternatywnej
K
to
(a)
W
= (
−1
,

u
1

]
(b)
W
= [
u
1

,
1
)
(c)
W
= (
−1
,

u
1

/
2
]
[
[
u
1

/
2
,
1
),
gdzie
u
q
dobrane tak, aby (
u
q
) =
q
dla (
u
) - dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego. (Wykorzystujemy tutaj CTG.)
Weryfikacjahipotezydotycz¡cejwariancji,gdy
X
ma
rozkładnormalny
N
(
m,
)
(a)
2
<
2
0
H
:
2
=
2
0
przeciwko
K
:
(b)
2
>
2
0
(jedna z tych trzech postaci)
(c)
2
6
=
2
0
na poziomie istotno±ci
.
statystyka testowa
(
X
1
,X
2
,...,X
n
) =
2
, gdzie
2
=
nS
2
2
0
Je±li
H
jest prawdziwa, to
2
ma rozkład chi kwadrat z
n

1 stopniami swobody,
czyli rozkład gamma
G
(1
/
2
,
(
n

1)
/
2).
zbiór krytyczny
W
z zale»no±ci od hipotezy alternatywnej
K
to
(a)
W
= (0
,
2
n

1
(
)]
(b)
W
= [
2
n

1
(1

)
,
1
)
(c)
W
= (0
,
2
n

1
(
/
2)]
[
[
2
n

1
(1

/
2)
,
1
),
gdzie
2
n

1
(
q
) dobrane tak, aby
P
(
2
¬
2
n

1
(
q
)) =
q
na podstawie Tablicy 4.
rozkładu chi kwadrat z
n

1 stopniami swobody.
3
 Podstawowetestyzgodno±ci
Testy zgodno±ci słu»¡ do weryfikacji hipotezy postaci:
H
: dystrybuant¡ badanej cechy jest
F
0
(
x
)
lub
H
: g¦sto±ci¡ badanej cechy jest
f
0
(
x
)
lub
H
: rozkład dyskretny badanej cechy jest dany przez
p
i
=
P
(
X
=
x
i
)
,i
2
I
na poziomie istotno±ci
. Funkcje w powy»szej hipotezie mog¡ by¢ w pełni okre±lone lub
zale»ne od nieznanych parametrów.
1.Test
2
Pearsona:
H
: dystrybuant¡ badanej cechy jest
F
0
(
x
), gdzie
F
0
(
x
) jest całkowicie okre±lona
(rozkład mo»e by¢ dyskretny lub ci¡gły)
z próby tworzymy szereg rozdzielczy i oznaczamy przez
N
j
liczno±¢
j
tej klasy
o granicach
x
j

1
,x
j
,
j
= 1
,...,k
obliczamy
p
j
=
F
0
(
x
j
)

F
0
(
x
j

1
)
N
j
to liczno±¢ do±wiadczalna
j
tej klasy,
np
j
to jej liczno±¢ hipotetyczna. Je±li
H
jest prawdziwa, to E
N
j
=
np
j
.
statystyka testowa
(
X
1
,X
2
,...,X
n
) =
2
, gdzie
k
X
(
N
j

np
j
)
2
np
j
2
=
,
j
=1
Je±li
H
jest prawdziwa, to przy ustalonym
k
i
n
!1
statystyka
2
ma asymp-
totycznie rozkład chi kwadrat z
k

1 stopniami swobody. W praktyce wystarcza
n
­
100, klasy takie, »eby
n
j
­
8 i
np
j
­
5.
zbiór krytyczny
W
= [
2
k

1
(1

)
,
1
)
gdzie
2
k

1
(
q
) dobrane tak, aby
P
(
2
¬
2
k

1
(
q
)) =
q
na podstawie Tablicy 4.
rozkładu chi kwadrat z
k

1 stopniami swobody.
Uwaga:Testu
2
Pearsona (w nieco zmodyfikowanej wersji) mo»na u»ywa¢ tak»e
do testowania hipotezy
H
w przypadku, gdy zało»ymy tylko posta¢ dystrybuanty
F
0
zale»n¡ od kilku nieznanych parametrów.
4
2.TestKołmogorowa:
H
: dystrybuant¡ badanej cechy jest
F
0
(
x
), gdzie
F
0
(
x
) jest dystrybuant¡ rozkładu
ci¡głego, całkowicie okre±lon¡
statystyka testowa
(
X
1
,X
2
,...,X
n
) =
D
n
, gdzie
D
n
= su
x
|
F
0
(
x
)

F
n
(
x
)
|
,
gdzie
F
n
(
x
) to dystrybuanta empiryczna.
Je±li
H
jest prawdziwa, to statystyka
D
n
Kołmogorowa ma rozkład, dla którego
d
n
(
) takie, »e
P
(
D
n
­
d
n
(
)) =
, podane s¡ w tablicach statystycznych.
zbiór krytyczny
W
= [
d
n
(
)
,
1]
5